Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{x}$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - e^{x}$ heraus.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$e^{x} (x - 1) = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.2.2.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.2.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.2.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Dividiere $e^{1}$ durch $1$ .

$f (1) = e$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $e$ .

$e$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ist $y = e$ .

$y = e$

Schritt 5