Analysis Beispiele

$- \frac{2 x}{y}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = - \frac{2 (x + h)}{y}$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2 (x + h)}{y}$ .

$- \frac{2 (x + h)}{y}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - \frac{2 (x + h)}{y}$

$f (x) = - \frac{2 x}{y}$

$f (x + h) = - \frac{2 (x + h)}{y}$

$f (x) = - \frac{2 x}{y}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 (x + h)}{y} - (- \frac{2 x}{y})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- - \frac{2 x}{y}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 (x + h)}{y} + 1 (\frac{2 x}{y})}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{2 x}{y}$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 (x + h)}{y} + \frac{2 x}{y}}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 (x + h) + 2 x}{y}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe $\frac{- 2 (x + h) + 2 x}{y}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (x + h) + 2 x$ heraus.

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Schritt 4.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (x + h)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- (x + h)) + 2 x}{y}}{h}$

Schritt 4.1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- (x + h)) + 2 (x)}{y}}{h}$

Schritt 4.1.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- (x + h)) + 2 (x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- (x + h) + x)}{y}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- x - h + x)}{y}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- h + 0)}{y}}{h}$

Schritt 4.1.3.4

Addiere $- h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot (- 1 h)}{y}}{h}$

Schritt 4.1.3.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.3.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (2 h)}{y}}{h}$

Schritt 4.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 h}{y}}{h}$

Schritt 4.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 h}{y}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2 h}{y} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 h}{y}$ in den Zähler.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 2 h}{y} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 2}{y} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 2}{y} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 2}{y}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2}{y}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $- \frac{2}{y}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{2}{y}$

Schritt 6