Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3} + 125}{x + 5} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{3} + 125$ durch $x + 5$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$125$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			+	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Schritt 1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{2} - 25 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$

Schritt 1.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$

Schritt 1.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $25 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$

Schritt 1.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$
							+	$25 x$	+	$125$

Schritt 1.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $25 x + 125$

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$
							-	$25 x$	-	$125$

Schritt 1.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$25$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$125$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$
							+	$25 x$	+	$125$
							-	$25 x$	-	$125$
										$0$

Schritt 1.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$\int x^{2} - 5 x + 25 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int - 5 x d x + \int 25 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 5 x d x + \int 25 d x$

Schritt 4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 \int x d x + \int 25 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 25 d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 25 x + C$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 25 x + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 25 x + C$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 25 x + C$