Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}} d x$

Schritt 2

Sei $x = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}$ .

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Schritt 3.1.1

Ordne Terme um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

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Schritt 3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.1.4

Schreibe $\sec^{6} (t)$ als ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (t)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $\sec^{2} (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (t)}$ zu dividieren.

$\int 1 \cos (t) d t$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int \cos (t) d t$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (t)$ nach $t$ ist $\sin (t)$ .

$\sin (t) + C$

Schritt 5

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (x)$ .

$\sin (\arctan (x)) + C$