Analysis Beispiele

$\frac{1}{x + k e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = x + k e^{x}$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + k e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $k e^{x}$ nach $x$ gleich $k \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k e^{x})}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (e^{x} k + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} k + 1$ um.

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $0$ .

$\frac{0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $k e^{x} \cdot 0$ .

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Schritt 5.3.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $k$ .

$\frac{0 + 0 e^{x} - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $e^{x}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 + 0 - (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4

Multipliziere $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 - k e^{x} - 1$ .

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Schritt 5.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $k e^{x}$ von $0$ .

$\frac{- k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{x} k - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{x} k$ heraus.

$\frac{- (e^{x} k) - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (e^{x} k) - 1 (1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{x} k) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Schritt 5.8

Schreibe $- (e^{x} k + 1)$ als $- 1 (e^{x} k + 1)$ um.

$\frac{- 1 (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Schritt 5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Schritt 5.10

Stelle die Faktoren in $- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$ um.

$- \frac{k e^{x} + 1}{{(k e^{x} + x)}^{2}}$