Analysis Beispiele

$\frac{1}{\sqrt{2 x}}$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 10

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 12

Multipliziere $2^{\frac{1}{2}}$ mit $2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $2^{\frac{1}{2}}$ mit $2$ .

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Schritt 12.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1}}$

Schritt 12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 12.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 12.4

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$