Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x^{2} + 5} d x$

Schritt 1

Stelle $x^{2}$ und $5$ um.

$\int \frac{1}{5 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Schreibe $5$ als ${\sqrt{5}}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ und $\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C$ als $\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$ um.

$\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} x) + C$