Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2} - 9}{x + 3} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{2} - 9$ durch $x + 3$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 3 x$

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$

Schritt 1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	-	$9$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	-	$9$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	-	$9$
					-	$3 x$	-	$9$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x - 9$

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	-	$9$
					+	$3 x$	+	$9$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	-	$9$
					+	$3 x$	+	$9$
								$0$

Schritt 1.11

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$\int x - 3 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int - 3 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$