Analysis Beispiele

$\int \frac{1 - y^{2}}{3 y} d y$

Schritt 1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - y^{2}}{y} d y$

Schritt 2

Stelle $1$ und $- y^{2}$ um.

$\frac{1}{3} \int \frac{- y^{2} + 1}{y} d y$

Schritt 3

Dividiere $- y^{2} + 1$ durch $y$ .

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Schritt 3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Schritt 3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- y^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

				-	$y$
	$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

Schritt 3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$0$

Schritt 3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- y^{2} + 0$

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$

Schritt 3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

Schritt 3.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{3} \int - y + \frac{1}{y} d y$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} (\int - y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- \int y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y)$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |)) + C$