Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{2 y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int_{0}^{1} y {(e^{2 y})}^{- 1} d y$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{2 y \cdot - 1} d y$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 2 y} d y$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- 2 y}$ .

$y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $e^{- 2 y}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y (- \frac{e^{- 2 y}}{2})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Schritt 3.2

Kombiniere $y$ und $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Schritt 4

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y$

Schritt 6

Sei $u = - 2 y$ . Dann ist $d u = - 2 d y$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = - 2 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Schritt 6.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = - 2 y$ ein.

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = - 2 y$ ein.

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $- \frac{y e^{- 2 y}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Schritt 12.2

Berechne $e^{u}$ bei $- 2$ und $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- \frac{1 e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $e^{- 2}$ mit $1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.3

Bringe $e^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 12.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.7.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + 0 - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.8

Addiere $- \frac{1}{2 e^{2}}$ und $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Schritt 12.3.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 12.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$

Schritt 12.3.11

Um $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$

Schritt 12.3.12

Kombiniere $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ und $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Schritt 12.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Schritt 12.3.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Schritt 12.3.15

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2}{4} (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Schritt 12.3.16

Kombiniere $e^{2}$ und $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{2} \cdot - 2}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Schritt 12.3.17

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2 \cdot e^{2}}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Schritt 12.3.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 12.3.18.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{2}$ heraus.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Schritt 12.3.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 (2)} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Schritt 12.3.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 \cdot 2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Schritt 12.3.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Schritt 12.3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 1 - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Schritt 13.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Schritt 13.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Schritt 13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} e^{- 2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Schritt 14.2

Multipliziere $\frac{e^{2}}{2} e^{- 2}$ .

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Schritt 14.2.1

Kombiniere $\frac{e^{2}}{2}$ und $e^{- 2}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{2} e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Schritt 14.2.2

Multipliziere $e^{2}$ mit $e^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1 + \frac{e^{2 - 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Schritt 14.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Schritt 14.2.3

Vereinfache $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Schritt 14.3

Kombiniere $\frac{e^{2}}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2} \cdot - 1}{2}}{2 e^{2}}$

Schritt 14.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Schritt 14.5

Schreibe $- 1 e^{2}$ als $- e^{2}$ um.

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Schritt 14.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.6.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Schritt 14.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{2 + 1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Schritt 14.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{\frac{3}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Schritt 14.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{3 - e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Schritt 14.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}})$

Schritt 14.8

Multipliziere $\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

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Schritt 14.8.1

Mutltipliziere $\frac{3 - e^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{2 (2 e^{2})}$

Schritt 14.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Dezimalform:

$0.14849853 \dots$

Schritt 16