Analysis Beispiele

$\tan (x + y) = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\tan (x + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\sec^{2} (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec^{2} (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\sec^{2} (x + y) (1 + y')$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ durch $\sec^{2} (x + y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ durch $\sec^{2} (x + y)$ .

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (x + y)$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Schritt 5.1.2.1.2

Dividiere $1 + y'$ durch $1$ .

$1 + y' = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 + y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$

Schritt 5.1.3.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$ als ${(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$ um.

$1 + y' = {(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$

Schritt 5.1.3.3

Schreibe $\sec (x + y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 + y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x + y)}})}^{2}$

Schritt 5.1.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x + y)}$ zu dividieren.

$1 + y' = {(1 \cos (x + y))}^{2}$

Schritt 5.1.3.5

Mutltipliziere $\cos (x + y)$ mit $1$ .

$1 + y' = \cos^{2} (x + y)$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' = \cos^{2} (x + y) - 1$

Schritt 5.2.2

Stelle $\cos^{2} (x + y)$ und $- 1$ um.

$y' = - 1 + \cos^{2} (x + y)$

Schritt 5.2.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = - 1 (1) + \cos^{2} (x + y)$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x + y)$ heraus.

$y' = - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$ heraus.

$y' = - 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$

Schritt 5.2.6

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$ als $- (1 - \cos^{2} (x + y))$ um.

$y' = - (1 - \cos^{2} (x + y))$

Schritt 5.2.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$y' = - \sin^{2} (x + y)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (x + y)$