Analysis Beispiele

$\int {(2 x + 6)}^{5} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x + 6$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x + 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 6]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{5}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int u^{5} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 6} u^{6} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{1}{12} u^{6} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 6$ .

$\frac{1}{12} {(2 x + 6)}^{6} + C$