Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x)=5x^2-3x-1 , [-1,3]
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
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Schritt 1.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3
Berechne .
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Schritt 1.1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.4
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
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Schritt 1.1.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.1.4.2
Addiere und .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.4.1.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 1.4.1.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.4.1.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.1.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.1.4.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.1.2.1.5
Multipliziere .
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Schritt 1.4.1.2.1.5.1
Kombiniere und .
Schritt 1.4.1.2.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.4.1.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
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Schritt 1.4.1.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.3
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 1.4.1.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.6
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 1.4.1.2.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.4.1.2.4
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.4.1.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.5
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.4.1.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.1.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.1.2.5.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.4.2
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
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Schritt 2.1
Berechne bei .
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Schritt 2.1.1
Ersetze durch .
Schritt 2.1.2
Vereinfache.
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Schritt 2.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 2.1.2.2.1
Addiere und .
Schritt 2.1.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Ersetze durch .
Schritt 2.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2
Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.
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Schritt 2.2.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 2.2.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 3
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 4