Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 4 x^{5} - 5 x^{4} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} 4 x^{5} d x + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{1} x^{5} d x + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$4 (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Schritt 5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) - 5 \int_{0}^{1} x^{4} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) - 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) - 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{x^{6}}{6}$ bei $1$ und $0$ .

$4 ((\frac{1^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) - 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $1$ und $0$ .

$4 (\frac{1^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (\frac{1}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 (\frac{1}{6} - \frac{0}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $6$ .

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Schritt 7.2.3.3.1

Faktorisiere $6$ aus $0$ heraus.

$4 (\frac{1}{6} - \frac{6 (0)}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$4 (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{1}{6} - \frac{0}{1}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 (\frac{1}{6} - 0) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 (\frac{1}{6} + 0) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.5

Addiere $\frac{1}{6}$ und $0$ .

$4 (\frac{1}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.6

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 7.2.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{6} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{5})$

Schritt 7.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 7.2.3.10.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Schritt 7.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.10.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{1})$

Schritt 7.2.3.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - 0)$

Schritt 7.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} + 0)$

Schritt 7.2.3.12

Addiere $\frac{1}{5}$ und $0$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5})$

Schritt 7.2.3.13

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 5}{5}$

Schritt 7.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 7.2.3.14.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{2}{3} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Schritt 7.2.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.14.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{2}{3} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Schritt 7.2.3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} + \frac{- 1}{1}$

Schritt 7.2.3.14.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{2}{3} - 1$

Schritt 7.2.3.15

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.16

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.3.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.3.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.18.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 - 3}{3}$

Schritt 7.2.3.18.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{- 1}{3}$

Schritt 7.2.3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{3}$

Schritt 9