Analysis Beispiele

$\int x^{2} \cos (3 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \cos (3 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (3 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3} \cdot 2$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int \sin (3 x) (x) d x)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} \int \sin (3 x) (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (3 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\cos (3 x)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (x (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\cos (3 x)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} - - \int \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + 1 \int \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\int \frac{\cos (3 x)}{3} d x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \int \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x)$

Schritt 10

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 10.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u) \frac{1}{3} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u)}{3} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u) d u)$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u) d u)$

Schritt 14

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Schreibe $\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u) + C))$ als $\frac{1}{3} x^{2} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$ um.

$\frac{1}{3} x^{2} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

Schritt 15.2

Vereinfache.

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Schritt 15.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

Schritt 15.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{3}$ und $\sin (3 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

Schritt 15.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

Schritt 15.2.4

Kombiniere $\cos (3 x)$ und $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{1}{9} \sin (u)) + C$

Schritt 15.2.5

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) + C$

Schritt 15.2.6

Um $- \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Schritt 15.2.7

Kombiniere $- \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Schritt 15.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - \frac{2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Schritt 15.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 3 (\frac{2}{3}) (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 15.2.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 15.2.11

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{- 6}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 15.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 15.2.12.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{3 \cdot - 2}{3} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 15.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 15.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 15.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 15.2.12.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (u)}{9})}{3} + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{\cos (3 x) x}{3} + \frac{\sin (3 x)}{9})}{3} + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Stelle die Faktoren in $\frac{\cos (3 x) x}{3}$ um.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{x \cos (3 x)}{3} + \frac{\sin (3 x)}{9})}{3} + C$

Schritt 17.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) - 2 (- \frac{x \cos (3 x)}{3}) - 2 \frac{\sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.2

Multipliziere $- 2 (- \frac{x \cos (3 x)}{3})$ .

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Schritt 17.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + 2 \frac{x \cos (3 x)}{3} - 2 \frac{\sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x \cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{2 (x \cos (3 x))}{3} - 2 \frac{\sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sin (3 x)}{9}$ .

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{2 (x \cos (3 x))}{3} + \frac{- 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2} \sin (3 x) + \frac{2 x \cos (3 x)}{3} - \frac{2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.5

Um $x^{2} \sin (3 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} + x^{2} \sin (3 x) \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.6

Kombiniere $x^{2} \sin (3 x)$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9}{9} - \frac{2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.8

Um $\frac{2 x \cos (3 x)}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 17.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{2 x \cos (3 x)}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3}{9} + \frac{x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3 + x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.11

Schreibe $\frac{2 x \cos (3 x) \cdot 3 + x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 17.2.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\frac{6 x \cos (3 x) + x^{2} \sin (3 x) \cdot 9 - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.2.11.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{2} \sin (3 x)$ .

$\frac{\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9}}{3} + C$

Schritt 17.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3} + C$

Schritt 17.4

Multipliziere $\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 17.4.1

Mutltipliziere $\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{9 \cdot 3} + C$

Schritt 17.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)}{27} + C$

Schritt 17.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{27} (6 x \cos (3 x) + 9 x^{2} \sin (3 x) - 2 \sin (3 x)) + C$