Analysis Beispiele

$3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.10

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 3.13

Forme den Ausdruck um.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

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Schritt 4.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{32}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 4.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 4.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $32$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 x^{- 3}$

Schritt 5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereine die Terme

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $- 64$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 64}{x^{3}}$

Schritt 6.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{64}{x^{3}}$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{64}{x^{3}} + 3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$