Analysis Beispiele

$\frac{1}{\ln (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{\ln (x)}$ als $\ln^{- 1} (x)$ um.

$\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- \ln^{- 2} (x) \frac{1}{x}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln^{- 2} (x)$ .

$- \frac{\ln^{- 2} (x)}{x}$

Schritt 4.2

Bringe $\ln^{- 2} (x)$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x \ln^{2} (x)}$