Analysis Beispiele

$\int x^{2} \sin (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Schritt 2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Schritt 3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Schritt 6

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ als $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ um.

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$