Analysis Beispiele

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - x^{2}}$ als ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 7.3

Bringe ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - (2 x))$

Schritt 14

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ um.

$(2 - 2 x) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $2 - 2 x$ mit $\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- x)$ heraus.

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (1 - x)}{2 ({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 15.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - x}{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$