Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Grenzwert von (tan(x))/x, wenn x gegen 0 geht
Schritt 1
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 1.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 1.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 1.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 1.1.2.1
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.
Schritt 1.1.2.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.2.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.1.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 1.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 1.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 1.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 1.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 1.3.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.4
Dividiere durch .
Schritt 2
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 2.1
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 2.2
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.
Schritt 3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 4
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.