Analysis Beispiele

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 10

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{3 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 14

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Schritt 15

Vereinfache Terme.

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Schritt 15.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Schritt 15.2

Kombiniere $2$ und $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Schritt 15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Schritt 15.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.5.1

Dividiere ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ durch $1$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 15.5.2

Stelle die Faktoren von ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ um.

$x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$