Analysis Beispiele

$2 x + y^{2} = 8$ , $x = y$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Ersetze alle $x$ in $2 x + y^{2} = 8$ durch $y$ .

$2 (y) + y^{2} = 8$

$x = y$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Multipliziere $2$ mit $y$ .

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

Schritt 1.2

Löse in $2 y + y^{2} = 8$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y + y^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $2 u + u^{2} - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

$x = y$

Schritt 1.2.2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = y$

Schritt 1.2.4

Setze $y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = y$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

$x = y$

$y = 2$

$x = y$

Schritt 1.2.5

Setze $y + 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $y + 4$ gleich $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = y$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 4$

$x = y$

$y = - 4$

$x = y$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 2) (y + 4) = 0$ wahr machen.

$y = 2, - 4$

$x = y$

$y = 2, - 4$

$x = y$

Schritt 1.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = y$ durch $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Schritt 1.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = y$ durch $- 4$ .

$x = - 4$

$y = - 4$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

Schritt 2

Löse $2 x + y^{2} = 8$ bezüglich $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 8 - y^{2}$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 8 - y^{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 8 - y^{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Dividiere $8$ durch $2$ .

$x = 4 + \frac{- y^{2}}{2}$

Schritt 2.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 4 - \frac{y^{2}}{2}$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} d y - \int_{- 4}^{2} y d y$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $- 4$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - (y) d y$

Schritt 4.2

Multipliziere $- 1$ mit $y$ .

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - y d y$

Schritt 4.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 4}^{2} 4 d y + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Schritt 4.4

Wende die Konstantenregel an.

$4 y]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Schritt 4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Schritt 4.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{2} y^{2} d y) + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Schritt 4.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Schritt 4.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} y d y$

Schritt 4.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{2})$

Schritt 4.10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Schritt 4.10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.10.2.1

Berechne $4 y$ bei $2$ und $- 4$ .

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Schritt 4.10.2.2

Berechne $\frac{1}{3} y^{3}$ bei $2$ und $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Schritt 4.10.2.3

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $2$ und $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4

Vereinfache.

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Schritt 4.10.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$8 + 16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.3

Addiere $8$ und $16$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.6

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 64) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.7

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 1$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 64 (\frac{1}{3})) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.8

Kombiniere $64$ und $\frac{1}{3}$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 64}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.10

Addiere $8$ und $64$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $72$ und $3$ .

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Schritt 4.10.2.4.11.1

Faktorisiere $3$ aus $72$ heraus.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.2.4.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.11.2.4

Dividiere $24$ durch $1$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot 24 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.12

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$24 - 24 (\frac{1}{2}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.13

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{2}$ .

$24 + \frac{- 24}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $2$ .

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Schritt 4.10.2.4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.2.4.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$24 + \frac{- 12}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.14.2.4

Dividiere $- 12$ durch $1$ .

$24 - 12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.15

Subtrahiere $12$ von $24$ .

$12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.16

Potenziere $2$ mit $2$ .

$12 - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.10.2.4.17.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.2.4.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.17.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$12 - (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Schritt 4.10.2.4.18

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$12 - (2 - \frac{16}{2})$

Schritt 4.10.2.4.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 4.10.2.4.19.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Schritt 4.10.2.4.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.2.4.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Schritt 4.10.2.4.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.10.2.4.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 - (2 - \frac{8}{1})$

Schritt 4.10.2.4.19.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$12 - (2 - 1 \cdot 8)$

Schritt 4.10.2.4.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$12 - (2 - 8)$

Schritt 4.10.2.4.21

Subtrahiere $8$ von $2$ .

$12 - - 6$

Schritt 4.10.2.4.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$12 + 6$

Schritt 4.10.2.4.23

Addiere $12$ und $6$ .

$18$

Schritt 5