Analysis Beispiele

$\int \sin^{3} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus.

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Schritt 2

Schreibe $\sin^{2} (x)$ in $1 - \cos^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Schritt 3

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 1 + u^{2} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$