Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{5}}}}{x^{6}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{1}{x^{5}}$ . Dann ist $d u = - \frac{5}{x^{6}} d x$ , folglich $1 d u = - \frac{5}{x^{6}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{1}{x^{5}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 1.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 5$ .

$- 5 x^{- 6}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{- 5}{x^{6}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{x^{6}}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{1}{x^{5}}$ ein.

$u_{lower} = \frac{1}{1^{5}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{1}{x^{5}}$ ein.

$u_{upper} = \frac{1}{2^{5}}$

Schritt 1.5

Potenziere $2$ mit $5$ .

$u_{upper} = \frac{1}{32}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{32}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{1}{32}} - \frac{1}{5} e^{u} d u$

Schritt 2

Da $- \frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- \frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{5} \int_{1}^{\frac{1}{32}} e^{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{5} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{32}}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne $e^{u}$ bei $\frac{1}{32}$ und $1$ .

$- \frac{1}{5} ((e^{\frac{1}{32}}) - e^{1})$

Schritt 4.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{5} (e^{\frac{1}{32}} - e)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{5} e^{\frac{1}{32}} - \frac{1}{5} (- e)$

Schritt 5.2

Kombiniere $e^{\frac{1}{32}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} - \frac{1}{5} (- e)$

Schritt 5.3

Multipliziere $- \frac{1}{5} (- e)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + 1 (\frac{1}{5}) e$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{1}{5} e$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{e}{5}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{e^{\frac{1}{32}}}{5} + \frac{e}{5}$

Dezimalform:

$0.33730768 \dots$

Schritt 7