Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 2 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ positiv ist.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sin (t)$ an.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $4 \cos^{2} (t)$ als ${(2 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos^{2} (t) d t$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = - π$

Schritt 9.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 9.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 9.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Schritt 9.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (u)]_{- π}^{π}$ .

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Berechne $t$ bei $\frac{π}{2}$ und $- \frac{π}{2}$ .

$2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Schritt 14.2

Berechne $\sin (u)$ bei $π$ und $- π$ .

$2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 14.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 14.3.2

Addiere $π$ und $π$ .

$2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 14.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 14.3.3.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$2 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$2 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$2 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Schritt 15.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Schritt 15.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$2 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Schritt 15.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Schritt 15.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Schritt 15.1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$2 (π + \frac{0}{2})$

Schritt 15.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 (π + 0)$

Schritt 16

Addiere $π$ und $0$ .

$2 π$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 π$

Dezimalform:

$6.28318530 \dots$

Schritt 18