Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + 7 x$ . Dann ist $d u = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + 7 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$0 + 7$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $7$ .

$7$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + 7 x$ ein.

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + 7 x$ ein.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $7$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt[3]{u}$ und $\frac{1}{7}$ .

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ bei $8$ und $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $4$ .

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Schritt 6.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.7.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Schritt 6.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

Schritt 6.2.10

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Schritt 6.2.11

Kombiniere $12$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Schritt 6.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

Schritt 6.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.13.1

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

Schritt 6.2.13.2

Subtrahiere $3$ von $48$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Schritt 6.2.14

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

Schritt 6.2.15

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{45}{28}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{45}{28}$

Dezimalform:

$1.60714285 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{17}{28}$

Schritt 8