Analysis Beispiele

$f (x) = \sin^{2} (x)$ on $[0, π]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 1.1.1.3.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 1.1.1.3.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1.1.1.3.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\sin (2 x) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Schritt 1.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 1.2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - 0$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 x = π + 0$

Schritt 1.2.6.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$2 x = π$

Schritt 1.2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 1.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.2.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\sin^{2} (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\sin^{2} (0)$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0^{2}$

Schritt 1.4.1.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$1^{2}$

Schritt 1.4.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 1)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(\frac{π}{2}, 1)$

Schritt 3

Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.

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Schritt 3.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

Schritt 3.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\sin (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4)$

Schritt 3.2.2.2

Berechne $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249$

Schritt 3.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.75680249$ .

$0.75680249$

Schritt 3.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $\sin (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \sin (2 (1))$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (1) = \sin (2)$

Schritt 3.3.2.2

Berechne $\sin (2)$ .

$f' (1) = 0.90929742$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.90929742$ .

$0.90929742$

Schritt 3.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(\frac{π}{2}, π)$ in die erste Ableitung $\sin (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \sin (2 (2))$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = \sin (4)$

Schritt 3.4.2.2

Berechne $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249$

Schritt 3.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.75680249$ .

$- 0.75680249$

Schritt 3.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(π, \infty)$ in die erste Ableitung $\sin (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = \sin (2 (6))$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f' (6) = \sin (12)$

Schritt 3.5.2.2

Berechne $\sin (12)$ .

$f' (6) = - 0.53657291$

Schritt 3.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.53657291$ .

$- 0.53657291$

Schritt 3.6

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 3.7

Da die erste Ableitung um $x = \frac{π}{2}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{π}{2}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 3.8

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = π$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 3.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(\frac{π}{2}, 1)$

Kein absolutes Minimum

Schritt 5