Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - x - 1$ ; between $1$ and $2$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 1 + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $3 x^{2} - 1$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 1 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 1$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{3} - x - 1$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.2.3

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.4.1.2.1.2.3.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.2.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $27$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Schritt 1.4.1.2.2

Um $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Schritt 1.4.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Schritt 1.4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Schritt 1.4.1.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

Schritt 1.4.1.2.5.1.2

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.4.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.2.1.3.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.3.3

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.4.2.2.1.3.3.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.3.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $27$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.1.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{3}}{9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.6

Multipliziere $- (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Schritt 1.4.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Schritt 1.4.2.2.2

Um $\frac{\sqrt{3}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Schritt 1.4.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

Schritt 1.4.2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Schritt 1.4.2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.2.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 1$

Schritt 1.4.2.2.4.2

Stelle die Faktoren von $\sqrt{3} \cdot 3$ um.

$\frac{- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{9} - 1$

Schritt 1.4.2.2.5

Addiere $- \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 1)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{3} - (1) - 1$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - (1) - 1$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 1 - 1$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 - 1$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${(2)}^{3} - (2) - 1$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - (2) - 1$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 - 2 - 1$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$6 - 1$

Schritt 3.2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$5$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(1, - 1), (2, 5)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(2, 5)$

Absolutes Minimum: $(1, - 1)$

Schritt 5