Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(theta)=sin(theta) , -pi/2<=theta<=(5pi)/6
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 1.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.3.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.2.4
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 1.2.5
Vereinfache .
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Schritt 1.2.5.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.2.5.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 1.2.5.2.1
Kombiniere und .
Schritt 1.2.5.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.5.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.2.5.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.5.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.6
Ermittele die Periode von .
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Schritt 1.2.6.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 1.2.6.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 1.2.6.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 1.2.6.4
Dividiere durch .
Schritt 1.2.7
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 1.2.8
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
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Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.2.2.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.
Schritt 1.4.2.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.3
Liste all Punkte auf.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 2
Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.
Schritt 3
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
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Schritt 3.1
Berechne bei .
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Schritt 3.1.1
Ersetze durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache.
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Schritt 3.1.2.1
Addiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 3.1.2.2
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.
Schritt 3.1.2.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2
Berechne bei .
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Schritt 3.2.1
Ersetze durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache.
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Schritt 3.2.2.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 3.2.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 4
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 5