Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ , $- 1 \leq x \leq 2$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} + 3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1.3.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 1.1.1.3.5.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.2

Schreibe $- 2$ um als $1$ plus $- 3$

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.3.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.7

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.9

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.3.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 3$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{(1) + 1}{{(1)}^{2} + 3}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{1^{2} + 3}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{1 + 3}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{2}{4}$

Schritt 1.4.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4}$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - 3$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$\frac{(- 3) + 1}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Addiere $- 3$ und $1$ .

$\frac{- 2}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 2}{9 + 3}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{- 2}{12}$

Schritt 1.4.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $12$ .

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Schritt 1.4.2.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Schritt 1.4.2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Schritt 1.4.2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Schritt 1.4.2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{6}$

Schritt 1.4.2.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{6}$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(1, \frac{1}{2}), (- 3, - \frac{1}{6})$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(1, \frac{1}{2})$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$\frac{(- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{1 + 3}$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{0}{4}$

Schritt 3.1.2.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$0$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\frac{(2) + 1}{{(2)}^{2} + 3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3}{2^{2} + 3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4 + 3}$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{3}{7}$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, 0), (2, \frac{3}{7})$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(1, \frac{1}{2})$

Absolutes Minimum: $(- 1, 0)$

Schritt 5