Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$ , $[0, 4]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.9

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.2.12

Dividiere $x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.8

Mutltipliziere $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.3.12

Dividiere $x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + 0$

Schritt 1.1.1.4.2

Addiere $x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{2}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3

Ersetze $x^{\frac{1}{2}}$ durch $u$ .

${(u)}^{3} - (u) = 0$

Schritt 1.2.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere $- 1$ mit $u$ .

$u^{3} - u = 0$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{3} - u$ heraus.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{3}$ heraus.

$u \cdot u^{2} - u = 0$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u^{2} + u \cdot - 1$ heraus.

$u (u^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = u$ und $b = 1$ .

$u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$u (u + 1) (u - 1) = 0$

Schritt 1.2.4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 1.2.4.4

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 1.2.4.5

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.5.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 1.2.4.6

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.6.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 1.2.4.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 1.2.4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u + 1) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 0, - 1, 1$

Schritt 1.2.5

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0, - 1, 1$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x^{\frac{1}{2}} = 0$ auf für $x$ .

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Schritt 1.2.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.7

Löse nach $x^{\frac{1}{2}} = - 1$ auf für $x$ .

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Schritt 1.2.7.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.7.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.7.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.7.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.7.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0, 1, 1$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt{x^{3}} - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt{x^{3}} - \sqrt{x^{1}}$

Schritt 1.3.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\sqrt{x^{3}} - \sqrt{x}$

Schritt 1.3.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 1.3.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Schritt 1.4

Werte $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Dividiere $0$ durch $5$ .

$0 - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.1.4.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$0 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.4.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 - \frac{0}{3} - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.6

Dividiere $0$ durch $3$ .

$0 - 0 - 6$

Schritt 1.4.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0 - 6$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 - 6$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$- 6$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{2 {(1)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2 \cdot 1}{5} - \frac{2 {(1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{5} - \frac{2 {(1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 1}{3} - 6$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{5} - \frac{2}{3} - 6$

Schritt 1.4.2.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - 6$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} - 6$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}) - 6$

Schritt 1.4.2.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - 6$

Schritt 1.4.2.2.2.5

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1}$

Schritt 1.4.2.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Schritt 1.4.2.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 1.4.2.2.2.8

Stelle die Faktoren von $5 \cdot 3$ um.

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 1.4.2.2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 1.4.2.2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 1.4.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 3 - 2 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 1.4.2.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 1.4.2.2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{6 - 10 - 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 1.4.2.2.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $15$ .

$\frac{6 - 10 - 90}{15}$

Schritt 1.4.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.5.1

Subtrahiere $10$ von $6$ .

$\frac{- 4 - 90}{15}$

Schritt 1.4.2.2.5.2

Subtrahiere $90$ von $- 4$ .

$\frac{- 94}{15}$

Schritt 1.4.2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{94}{15}$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, - 6), (1, - \frac{94}{15})$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.3

Dividiere $0$ durch $5$ .

$0 - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$0 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.4.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 - \frac{0}{3} - 6$

Schritt 2.1.2.1.6

Dividiere $0$ durch $3$ .

$0 - 0 - 6$

Schritt 2.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0 - 6$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 - 6$

Schritt 2.1.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$- 6$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$\frac{2 {(4)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{1 + 5}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.1.4

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{2^{6}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $6$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{64}{5} - \frac{2^{1 + 3}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2^{4}}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.1.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{64}{5} - \frac{16}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{64}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{64}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16}{3} - 6$

Schritt 2.2.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5}) - 6$

Schritt 2.2.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} - 6$

Schritt 2.2.2.2.5

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1}$

Schritt 2.2.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Schritt 2.2.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 2.2.2.2.8

Stelle die Faktoren von $5 \cdot 3$ um.

$\frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 2.2.2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{64 \cdot 3}{15} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 2.2.2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{64 \cdot 3}{15} - \frac{16 \cdot 5}{15} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 \cdot 3 - 16 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 2.2.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.4.1

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$\frac{192 - 16 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 2.2.2.4.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$\frac{192 - 80 - 6 \cdot 15}{15}$

Schritt 2.2.2.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $15$ .

$\frac{192 - 80 - 90}{15}$

Schritt 2.2.2.5

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.2.5.1

Subtrahiere $80$ von $192$ .

$\frac{112 - 90}{15}$

Schritt 2.2.2.5.2

Subtrahiere $90$ von $112$ .

$\frac{22}{15}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(0, - 6), (4, \frac{22}{15})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(4, \frac{22}{15})$

Absolutes Minimum: $(1, - \frac{94}{15})$

Schritt 4