Analysis Beispiele

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ , $[- 3, 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Kombiniere $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.4

Mutltipliziere $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ mit $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Mutltipliziere $e^{\frac{x}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ um.

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $e^{\frac{x}{2}}$ aus $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $e^{\frac{x}{2}}$ aus $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ heraus.

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $e^{\frac{x}{2}}$ aus $e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ heraus.

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $e^{\frac{x}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $e^{\frac{x}{2}}$ gleich $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $e^{\frac{x}{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Schritt 1.2.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 1.2.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{\frac{x}{2}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 1.2.5

Setze $\frac{x}{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $\frac{x}{2} + 1$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $\frac{x}{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = - 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Schritt 1.2.5.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \cdot - 1$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = - 2$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 2$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x e^{\frac{x}{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$(- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$- 2 \cdot e^{- 1}$

Schritt 1.4.1.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \cdot \frac{1}{e}$

Schritt 1.4.1.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 2}{e}$

Schritt 1.4.1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{e}$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(- 2, - \frac{2}{e})$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 3$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$(- 3) \cdot e^{\frac{- 3}{2}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$(1) \cdot e^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $e^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 3, - \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}), (1, e^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(1, e^{\frac{1}{2}})$

Absolutes Minimum: $(- 2, - \frac{2}{e})$

Schritt 4