Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - x^{2} + x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $12 x^{2} - 2$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 x + 1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 2 x + 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 0.88464617$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 0.88464617$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 0.88464617$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(- 0.88464617)}^{2} - 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Potenziere $- 0.88464617$ mit $2$ .

$12 \cdot 0.78259885 - 2$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.78259885$ .

$9.3911863 - 2$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2$ von $9.3911863$ .

$7.3911863$

Schritt 10

$x = - 0.88464617$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 0.88464617$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 0.88464617$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.88464617$ .

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Schritt 11.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Potenziere $- 0.88464617$ mit $4$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Schritt 11.2.2.2

Potenziere $- 0.88464617$ mit $2$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 1 \cdot 0.78259885 - 0.88464617$

Schritt 11.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.78259885$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 0.78259885 - 0.88464617$

Schritt 11.2.3

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.3.1

Subtrahiere $0.78259885$ von $0.61246097$ .

$f (- 0.88464617) = - 0.17013788 - 0.88464617$

Schritt 11.2.3.2

Subtrahiere $0.88464617$ von $- 0.17013788$ .

$f (- 0.88464617) = - 1.05478406$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1.05478406$ .

$y = - 1.05478406$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} - x^{2} + x$ .

$(- 0.88464617, - 1.05478406)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13