Analysis Beispiele

$f (x) = | x + 1 |$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ mit $1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = | x + 1 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $| x + 1 |$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + 0))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- x - 1$ mit $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.1.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.1.3.4

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.1.3.5

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.1.3.6

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.1.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.2

Um $| x + 1 |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 |}{| x + 1 |} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.4.1

Multipliziere $| x + 1 | | x + 1 |$ .

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Schritt 2.5.2.4.1.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.1.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.1.3

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{1 + 1} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{2} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.2

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.3

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.2.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x + 1) + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.4.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.4.2

Addiere $x$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.5

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.6

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.2.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x (x + 1) + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.4.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.4.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.7.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.7.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.7.2

Addiere $x$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + 2 x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.9

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.4.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.10

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.11

Schreibe $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.5.2.4.11.1

Gruppiere die Terme um.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.11.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |$ heraus.

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Schritt 2.5.2.4.11.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.11.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.11.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $| x^{2} + 2 x + 1 |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.11.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (2 x)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.11.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ heraus.

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Schritt 2.5.2.4.11.3.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.11.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.11.3.3

Schreibe $- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ als $- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.11.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.3.1

Schreibe $\frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |} \cdot \frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$

Schritt 2.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$ mit $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Schritt 2.5.3.3

Multipliziere ${| x + 1 |}^{2}$ mit $| x + 1 |$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.3.1

Mutltipliziere ${| x + 1 |}^{2}$ mit $| x + 1 |$ .

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Schritt 2.5.3.3.1.1

Potenziere $| x + 1 |$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Schritt 2.5.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2 + 1}}$

Schritt 2.5.3.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 4.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.1.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 1 = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x + 1 | = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm 0$

Schritt 6.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| (- 1) + 1 |}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| 0 |}^{3}}$

Schritt 9.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0^{3}}$

Schritt 9.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die erste Ableitung $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{(- 4) + 1}{| (- 4) + 1 |}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 4 + 1 |}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.2.1

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

Schritt 10.2.2.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 3$ und $0$ ist $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{3}$

Schritt 10.2.2.3

Dividiere $- 3$ durch $3$ .

$f' (- 4) = - 1$

Schritt 10.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{(0) + 1}{| (0) + 1 |}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 0 + 1 |}$

Schritt 10.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.2.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 1 |}$

Schritt 10.3.2.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Schritt 10.3.2.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 10.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 10.4

Da die erste Ableitung um $x = - 1$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 1$ ein lokales Minimum.

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11