Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x)=-2x^3+15x^2-24x on 0 , 5
on ,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
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Schritt 1.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3
Berechne .
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Schritt 1.1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 1.2.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.2.2
Faktorisiere.
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Schritt 1.2.2.2.1
Faktorisiere unter der Verwendung der AC-Methode.
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Schritt 1.2.2.2.1.1
Betrachte die Form . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt und deren Summe ist. In diesem Fall, deren Produkt und deren Summe ist.
Schritt 1.2.2.2.1.2
Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.
Schritt 1.2.2.2.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 1.2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.4.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.4.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.5.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.5.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.4.1.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 1.4.1.2.2.1
Addiere und .
Schritt 1.4.1.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 1.4.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 1.4.2.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 1.4.2.2.2.1
Addiere und .
Schritt 1.4.2.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
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Schritt 2.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Ersetze durch .
Schritt 2.1.2
Vereinfache.
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Schritt 2.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.1.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.1.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.2
Vereinfache durch Addieren von Zahlen.
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Schritt 2.1.2.2.1
Addiere und .
Schritt 2.1.2.2.2
Addiere und .
Schritt 2.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Ersetze durch .
Schritt 2.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.2.1
Addiere und .
Schritt 2.2.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 3
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 4