Analysis Beispiele

$g (x) = - \sqrt{5 - x^{2}}$ , $- \sqrt{5} \leq x \leq 0$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 - x^{2}}$ als ${(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [- {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 - x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 - x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])$

Schritt 1.1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])$

Schritt 1.1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])$

Schritt 1.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])$

Schritt 1.1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])$

Schritt 1.1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{1}{2} {(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])$

Schritt 1.1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])$

Schritt 1.1.1.7.3

Bringe ${(5 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x^{2}])$

Schritt 1.1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.1.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.1.12

Multipliziere.

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Schritt 1.1.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 1.1.1.14

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.1.14.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 1.1.1.14.2

Kombiniere $\frac{2}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 {(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.14.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{{(5 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.14.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $\frac{x}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x}{{(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{x}{\sqrt{{(- x^{2} + 5)}^{1}}}$

Schritt 1.3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 5}}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 5}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{- x^{2} + 5} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- x^{2} + 5}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x^{2} + 5}$ als ${(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${({(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- x^{2} + 5)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$- x^{2} + 5 = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- x^{2} + 5 = 0$

Schritt 1.3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 5$

Schritt 1.3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.3.3.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Schritt 1.3.3.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 1.3.3.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.3.3.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 1.3.3.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 1.3.3.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 1.3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x^{2} + 5}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x^{2} + 5 < 0$

Schritt 1.3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.5.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} < - 5$

Schritt 1.3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} < - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.5.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} < - 5$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.3.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} > \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x^{2} > 5$

Schritt 1.3.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{5}$

Schritt 1.3.5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.5.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{5}$

Schritt 1.3.5.5

Schreibe $| x | > \sqrt{5}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.3.5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.3.5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > \sqrt{5}$

Schritt 1.3.5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.3.5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > \sqrt{5}$

Schritt 1.3.5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x > \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.3.5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x > \sqrt{5}$ und $x \geq 0$ .

$x > \sqrt{5}$

Schritt 1.3.5.7

Teile jeden Ausdruck in $- x > \sqrt{5}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.5.7.1

Teile jeden Term in $- x > \sqrt{5}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.3.5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.5.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.3.5.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.3.5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.7.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot \sqrt{5}$

Schritt 1.3.5.7.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{5}$ als $- \sqrt{5}$ um.

$x < - \sqrt{5}$

Schritt 1.3.5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - \sqrt{5}$ oder $x > \sqrt{5}$

Schritt 1.3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - \sqrt{5}, x \geq \sqrt{5}$

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

$x \leq - \sqrt{5}, x \geq \sqrt{5}$

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Schritt 1.4

Werte $- \sqrt{5 - x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$- \sqrt{5 - {(0)}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \sqrt{5 - 0}$

Schritt 1.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \sqrt{5 + 0}$

Schritt 1.4.1.2.3

Addiere $5$ und $0$ .

$- \sqrt{5}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - \sqrt{5}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \sqrt{5}$ .

$- \sqrt{5 - {(- \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{5}$ an.

$- \sqrt{5 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Schritt 1.4.2.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$- \sqrt{5 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 1.4.2.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sqrt{5 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 1.4.2.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sqrt{5 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \sqrt{5 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 1.4.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \sqrt{5 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 1.4.2.2.4

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 1.4.2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \sqrt{5 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.4.2.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{5 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.4.2.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \sqrt{5 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{5 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.2.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{5 - 5^{1}}$

Schritt 1.4.2.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$- \sqrt{5 - 1 \cdot 5}$

Schritt 1.4.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \sqrt{5 - 5}$

Schritt 1.4.2.2.5.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$- \sqrt{0}$

Schritt 1.4.2.2.5.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.4.2.2.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 0$

Schritt 1.4.2.2.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = \sqrt{5}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{5}$ .

$- \sqrt{5 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \sqrt{5 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{5 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \sqrt{5 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{5 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{5 - 5^{1}}$

Schritt 1.4.3.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$- \sqrt{5 - 1 \cdot 5}$

Schritt 1.4.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \sqrt{5 - 5}$

Schritt 1.4.3.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$- \sqrt{0}$

Schritt 1.4.3.2.2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.4.3.2.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 0$

Schritt 1.4.3.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, - \sqrt{5}), (- \sqrt{5}, 0), (\sqrt{5}, 0)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(0, - \sqrt{5}), (- \sqrt{5}, 0)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = - \sqrt{5}$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- \sqrt{5}$ .

$- \sqrt{5 - {(- \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{5}$ an.

$- \sqrt{5 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$- \sqrt{5 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 3.1.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sqrt{5 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sqrt{5 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \sqrt{5 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \sqrt{5 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.1.2.4

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.1.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \sqrt{5 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.1.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{5 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \sqrt{5 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{5 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{5 - 5^{1}}$

Schritt 3.1.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$- \sqrt{5 - 1 \cdot 5}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \sqrt{5 - 5}$

Schritt 3.1.2.5.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$- \sqrt{0}$

Schritt 3.1.2.5.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.1.2.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 0$

Schritt 3.1.2.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$- \sqrt{5 - {(0)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \sqrt{5 - 0}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \sqrt{5 + 0}$

Schritt 3.2.2.3

Addiere $5$ und $0$ .

$- \sqrt{5}$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- \sqrt{5}, 0), (0, - \sqrt{5})$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $g (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $g (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $g (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- \sqrt{5}, 0)$

Absolutes Minimum: $(0, - \sqrt{5})$

Schritt 5