Analysis Beispiele

$y = 2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ , $[- 2, 3]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $\frac{1}{5}$ .

$2 ({(\frac{1}{5})}^{x} \ln (\frac{1}{5}))$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$2 \frac{1^{x}}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{5^{x}}$ .

$\frac{2}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Kombiniere $\frac{2}{5^{x}}$ und $\ln (\frac{1}{5})$ .

$f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$ .

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache $2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Vereinfache $2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{2.71828182} ({(\frac{1}{5})}^{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\log_{2.71828182} (\frac{1^{2}}{5^{2}}) = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{5^{2}}) = 0$

Schritt 1.2.3.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Da $\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$2 {(\frac{1}{5})}^{- 2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$2 \cdot 5^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$2 \cdot 25$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$50$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$2 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$2 \frac{1^{3}}{5^{3}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{5^{3}}$

Schritt 2.2.2.1.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$2 (\frac{1}{125})$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{125}$ .

$\frac{2}{125}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, 50), (3, \frac{2}{125})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 2, 50)$

Absolutes Minimum: $(3, \frac{2}{125})$

Schritt 4