Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall y=7x+7sin(x) , 0<=x<=2pi
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
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Schritt 1.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3
Berechne .
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Schritt 1.1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.3.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.2.4
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 1.2.5
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.5.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.2.6
Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 1.2.7
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.8
Ermittele die Periode von .
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Schritt 1.2.8.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 1.2.8.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 1.2.8.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 1.2.8.4
Dividiere durch .
Schritt 1.2.9
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.4.1.2.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 1.4.1.2.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2
Addiere und .
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
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Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.4.2.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.2
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 1.4.2.2.1.3
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 1.4.2.2.1.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.2.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2
Addiere und .
Schritt 1.4.3
Berechne bei .
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Schritt 1.4.3.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.3.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.4.3.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.3.2.1.2
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 1.4.3.2.1.3
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 1.4.3.2.1.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.3.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.3.2.2
Addiere und .
Schritt 1.4.4
Berechne bei .
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Schritt 1.4.4.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.4.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.4.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.4.2.1.2
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 1.4.4.2.1.3
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 1.4.4.2.1.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.4.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.4.2.2
Addiere und .
Schritt 1.4.5
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.5.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.5.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.5.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.5.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.5.2.1.2
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 1.4.5.2.1.3
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 1.4.5.2.1.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.5.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.5.2.2
Addiere und .
Schritt 1.4.6
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.
Schritt 3
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
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Schritt 3.1
Berechne bei .
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Schritt 3.1.1
Ersetze durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache.
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Schritt 3.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 3.1.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2
Addiere und .
Schritt 3.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1
Ersetze durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.1.2
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 3.2.2.1.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 3.2.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.2
Addiere und .
Schritt 3.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 4
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 5