Analysis Beispiele

$f (x) = | x |$ , given $\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{13}$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x}{| x |} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 1.2.3

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{x}{| x |} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{| x |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x | = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Schritt 1.3.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $| x |$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$| 0 |$

Schritt 1.4.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 0)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = \sqrt{5}$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{5}$ .

$| \sqrt{5} |$

Schritt 3.1.2

$\sqrt{5}$ ist ungefähr $2.23606797$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\sqrt{5}$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = \sqrt{13}$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{13}$ .

$| \sqrt{13} |$

Schritt 3.2.2

$\sqrt{13}$ ist ungefähr $3.60555127$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\sqrt{13}$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(\sqrt{5}, \sqrt{5}), (\sqrt{13}, \sqrt{13})$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(\sqrt{13}, \sqrt{13})$

Absolutes Minimum: $(\sqrt{5}, \sqrt{5})$

Schritt 5