Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x)=2cos(x)^2 on [0,pi]
on
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.1.1.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.4
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.1.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.3
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.3.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.3.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.3.2.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 1.2.3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.3.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.2.3.2.3
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 1.2.3.2.4
Vereinfache .
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Schritt 1.2.3.2.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.2.3.2.4.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 1.2.3.2.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 1.2.3.2.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.3.2.4.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.2.3.2.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3.2.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.3.2.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 1.2.3.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 1.2.3.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 1.2.3.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 1.2.3.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 1.2.3.2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 1.2.4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.2.4.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.4.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.2.4.2.1
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 1.2.4.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.4.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.2.4.2.3
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 1.2.4.2.4
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.4.2.5
Ermittele die Periode von .
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Schritt 1.2.4.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 1.2.4.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 1.2.4.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 1.2.4.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 1.2.4.2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 1.2.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede Ganzzahl
Schritt 1.2.6
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.1.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.1.2.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 1.4.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
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Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 1.4.2.2.2
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.3
Liste all Punkte auf.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 2
Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.
Schritt 3
Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.
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Schritt 3.1
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu oder nicht definiert machen.
Schritt 3.2
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
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Schritt 3.2.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 3.2.2.1
Berechne .
Schritt 3.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.3
Berechne .
Schritt 3.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.5
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 3.3
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
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Schritt 3.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 3.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 3.3.2.1
Berechne .
Schritt 3.3.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.3
Berechne .
Schritt 3.3.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.5
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 3.4
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
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Schritt 3.4.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 3.4.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.2.1
Berechne .
Schritt 3.4.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.2.3
Berechne .
Schritt 3.4.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.2.5
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 3.5
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 3.5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.1
Berechne .
Schritt 3.5.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.5.2.3
Berechne .
Schritt 3.5.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.5.2.5
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 3.6
Da die erste Ableitung das Vorzeichen um nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.
Kein lokales Maximum oder Minimum
Schritt 3.7
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist ein lokales Minimum.
ist ein lokales Minimum
Schritt 3.8
Da die erste Ableitung das Vorzeichen um nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.
Kein lokales Maximum oder Minimum
Schritt 3.9
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Minimum
Schritt 4
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Kein absolutes Maximum
Absolutes Minimum:
Schritt 5