Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x)=3x^(2/3)-2x
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.2.4
Kombiniere und .
Schritt 1.2.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.2.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.2.8
Kombiniere und .
Schritt 1.2.9
Kombiniere und .
Schritt 1.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.11
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.2.12
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.13
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.13.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.13.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.13.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Schreibe als um.
Schritt 2.2.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.2.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.5
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.5.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.2.5.2
Kombiniere und .
Schritt 2.2.5.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.2.6
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.2.7
Kombiniere und .
Schritt 2.2.8
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.2.9
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.9.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.2.10
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.2.11
Kombiniere und .
Schritt 2.2.12
Kombiniere und .
Schritt 2.2.13
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.13.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.13.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.2.13.3
Subtrahiere von .
Schritt 2.2.13.4
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.2.14
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 2.2.15
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.16
Kombiniere und .
Schritt 2.2.17
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3.2
Addiere und .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.1.2.4
Kombiniere und .
Schritt 4.1.2.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.1.2.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.2.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.1.2.8
Kombiniere und .
Schritt 4.1.2.9
Kombiniere und .
Schritt 4.1.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.11
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 4.1.2.12
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.2.13
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.13.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.2.13.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.2.13.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.3
Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
Schritt 5.3.2
Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.
Schritt 5.4
Multipliziere jeden Term in mit um die Brüche zu eliminieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.1
Multipliziere jeden Term in mit .
Schritt 5.4.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.4.2.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.5
Löse die Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 5.5.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.5.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.5.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 5.5.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 5.5.3
Potenziere jede Seite der Gleichung mit , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 5.5.4
Vereinfache den Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.4.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.4.1.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.4.1.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.4.1.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 5.5.4.1.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.4.1.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.5.4.1.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.5.4.1.1.2
Vereinfache.
Schritt 5.5.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.4.2.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 6.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 6.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 6.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.
Schritt 6.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 6.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 6.3.2.2.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.3.2.2.1.2
Vereinfache.
Schritt 6.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 11.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 11.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.1
Schreibe als um.
Schritt 13.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 13.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 13.3
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 13.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.3.3
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 13.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Undefiniert
Schritt 14
Da es mindestens einen Punkt mit oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.1
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu oder nicht definiert machen.
Schritt 14.2
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.2.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.3
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.3.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 14.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 14.3.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 14.3.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.4
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.4.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.4.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.4.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 14.4.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.5
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist ein lokales Minimum.
ist ein lokales Minimum
Schritt 14.6
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist ein lokales Maximum.
ist ein lokales Maximum
Schritt 14.7
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Maximum
Schritt 15