Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x)=x^2+1/x , x>0
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Differenziere.
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Schritt 1.1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
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Schritt 1.1.1.2.1
Schreibe als um.
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.
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Schritt 1.2.2.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
Schritt 1.2.2.2
Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.
Schritt 1.2.3
Multipliziere jeden Term in mit um die Brüche zu eliminieren.
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Schritt 1.2.3.1
Multipliziere jeden Term in mit .
Schritt 1.2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.2.3.2.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 1.2.3.2.1.1.1
Bewege .
Schritt 1.2.3.2.1.1.2
Mutltipliziere mit .
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Schritt 1.2.3.2.1.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.2.3.2.1.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.2.3.2.1.1.3
Addiere und .
Schritt 1.2.3.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.3.2.1.2.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 1.2.3.2.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.3.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4
Löse die Gleichung.
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Schritt 1.2.4.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.4.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.4.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.4.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.4.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.4.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.4.3
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.2.4.4
Vereinfache .
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Schritt 1.2.4.4.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2.4.4.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 1.2.4.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4.4.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
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Schritt 1.2.4.4.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4.4.4.2
Potenziere mit .
Schritt 1.2.4.4.4.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.2.4.4.4.4
Addiere und .
Schritt 1.2.4.4.4.5
Schreibe als um.
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Schritt 1.2.4.4.4.5.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.2.4.4.4.5.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.4.4.4.5.3
Kombiniere und .
Schritt 1.2.4.4.4.5.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.4.4.4.5.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.4.4.4.5.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.4.4.4.5.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 1.2.4.4.5
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.2.4.4.5.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2.4.4.5.2
Potenziere mit .
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.3.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.3.2.1
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.3.2.2
Vereinfache .
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Schritt 1.3.2.2.1
Schreibe als um.
Schritt 1.3.2.2.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.3.2.2.3
Plus oder Minus ist .
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 1.4.1.2.1.2
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.2.1
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.1.2.2
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.2.3
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.1.2.3.2
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.1.2.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 1.4.1.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.1.2.1.5
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 1.4.1.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.8
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.8.2
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.8.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.4.1.2.1.8.4
Addiere und .
Schritt 1.4.1.2.1.8.5
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.8.5.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.4.1.2.1.8.5.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.4.1.2.1.8.5.3
Kombiniere und .
Schritt 1.4.1.2.1.8.5.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.8.5.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.1.8.5.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.1.2.1.8.5.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 1.4.1.2.1.9
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.9.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.1.9.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.9.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.1.9.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.1.9.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.1.2.1.10
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.10.1
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.1.10.2
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.10.3
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.10.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.1.2.1.10.3.2
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.1.10.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 1.4.1.2.1.11
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.11.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.1.11.2
Dividiere durch .
Schritt 1.4.1.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3
Kombiniere Brüche.
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Schritt 1.4.1.2.3.1
Kombiniere und .
Schritt 1.4.1.2.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.4.1.2.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.4.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.4.1.2.4.2
Addiere und .
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Undefiniert
Schritt 1.4.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.
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Schritt 2.1
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu oder nicht definiert machen.
Schritt 2.2
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
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Schritt 2.2.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 2.2.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 2.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.2.2.3
Kombiniere und .
Schritt 2.2.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.2.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.2.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.2.2.7
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 2.3
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 2.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 2.3.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.3.2.3
Kombiniere und .
Schritt 2.3.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.3.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 2.4
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist ein lokales Minimum.
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Minimum
Schritt 3
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Kein absolutes Maximum
Absolutes Minimum:
Schritt 4