Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall 6x^4-32x^3+48x^2-7
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.5.2
Addiere und .
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.5
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.5.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.5.2
Addiere und .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.2
Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.2.1
Schreibe als um.
Schritt 5.2.2.2
Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.
Schritt 5.2.2.3
Schreibe das Polynom neu.
Schritt 5.2.2.4
Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat , wobei und .
Schritt 5.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5.4
Setze gleich .
Schritt 5.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.1
Setze gleich .
Schritt 5.5.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.2.1
Setze gleich .
Schritt 5.5.2.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Vereinfache durch Addieren von Zahlen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1
Addiere und .
Schritt 9.2.2
Addiere und .
Schritt 10
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.5
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.2.1
Addiere und .
Schritt 11.2.2.2
Addiere und .
Schritt 11.2.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 11.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.1
Potenziere mit .
Schritt 13.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 13.2.2
Addiere und .
Schritt 14
Da es mindestens einen Punkt mit oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.1
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu oder nicht definiert machen.
Schritt 14.2
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.2.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.2.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 14.2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 14.2.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2.2.2
Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.2.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 14.2.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 14.2.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.3
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.3.2.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 14.3.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.3.2.1.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 14.3.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.3.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.3.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.3.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 14.3.2.2.2
Addiere und .
Schritt 14.3.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.4
Setze eine beliebige Zahl, wie , aus dem Intervall in die erste Ableitung ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.4.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 14.4.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.4.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 14.4.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.4.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 14.4.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.4.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.4.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 14.4.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 14.4.2.2.2
Addiere und .
Schritt 14.4.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 14.5
Da die erste Ableitung um herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist ein lokales Minimum.
ist ein lokales Minimum
Schritt 14.6
Da die erste Ableitung das Vorzeichen um nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.
Kein lokales Maximum oder Minimum
Schritt 14.7
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Minimum
Schritt 15