Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall 3x^4+4x^3-12x^2+5
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
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Schritt 1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2
Berechne .
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Schritt 1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Berechne .
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Schritt 1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4
Berechne .
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Schritt 1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
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Schritt 1.5.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.5.2
Addiere und .
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
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Schritt 2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2
Berechne .
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Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Berechne .
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Schritt 2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4
Berechne .
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Schritt 2.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 4.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2
Berechne .
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Schritt 4.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3
Berechne .
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Schritt 4.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4
Berechne .
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Schritt 4.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.5
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
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Schritt 4.1.5.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.5.2
Addiere und .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 5.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.2
Faktorisiere.
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Schritt 5.2.2.1
Faktorisiere unter der Verwendung der AC-Methode.
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Schritt 5.2.2.1.1
Betrachte die Form . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt und deren Summe ist. In diesem Fall, deren Produkt und deren Summe ist.
Schritt 5.2.2.1.2
Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.
Schritt 5.2.2.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 5.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5.4
Setze gleich .
Schritt 5.5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 5.5.1
Setze gleich .
Schritt 5.5.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.6
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 5.6.1
Setze gleich .
Schritt 5.6.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.7
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 9.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 9.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 9.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 9.2.1
Addiere und .
Schritt 9.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 10
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 11.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.5
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 11.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2
Vereinfache durch Addieren von Zahlen.
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Schritt 11.2.2.1
Addiere und .
Schritt 11.2.2.2
Addiere und .
Schritt 11.2.2.3
Addiere und .
Schritt 11.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 13.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 13.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 13.2.1
Addiere und .
Schritt 13.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 14
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 15
Ermittele den y-Wert, wenn .
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Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 15.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 15.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.1.5
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 15.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.2.1
Addiere und .
Schritt 15.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 15.2.2.3
Addiere und .
Schritt 15.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 17
Berechne die zweite Ableitung.
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Schritt 17.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.1.1
Potenziere mit .
Schritt 17.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.2
Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 17.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 17.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 18
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 19
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 19.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.1.5
Potenziere mit .
Schritt 19.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 19.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 19.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 19.2.2.3
Addiere und .
Schritt 19.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 20
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
ist ein lokales Minimum
Schritt 21