Analysis Beispiele

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ , $[- 2, 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.1.1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.1.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.1.1.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 1.1.1.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.1.1.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.1.1.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$- x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

Schritt 1.1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 3}$

Schritt 1.1.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.1.1.6

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Schritt 1.2.2.2

Da $x^{2}, x^{3}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{2}, x^{3}$ .

Schritt 1.2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.2.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.2.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.2.2.6

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 1.2.2.7

Die Teiler von $x^{3}$ sind $x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $3$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $3$ -mal auf.

Schritt 1.2.2.8

Das kgV von $x^{2}, x^{3}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x \cdot x$

Schritt 1.2.2.9

Vereinfache $x \cdot x \cdot x$ .

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Schritt 1.2.2.9.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Schritt 1.2.2.9.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.9.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.2.9.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Schritt 1.2.2.9.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1}$

Schritt 1.2.2.9.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ mit $x^{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- x + 4 = 0 x^{3}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{3}$ .

$- x + 4 = 0$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 1.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3.3

Setze den Nenner in $\frac{4}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 1.3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.3.4.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{{(4)}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{16}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{16}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Schritt 1.4.1.2.2

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

Schritt 1.4.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

Schritt 1.4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 1}{8}$

Schritt 1.4.1.2.5

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{0}$

Schritt 1.4.2.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(4, \frac{1}{8})$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$\frac{1}{- 2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und ${(- 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 1 (- 2)$ heraus.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.2.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus ${(- 2)}^{2}$ heraus.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

Schritt 3.1.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$- 1$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - \frac{2}{1}$

Schritt 3.2.2.1.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$1 - 1 \cdot 2$

Schritt 3.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 2$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, - 1), (1, - 1)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Absolutes Minimum: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Schritt 5