Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x) = square root of x+3 , 0<=x<=5
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
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Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.1.1.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.1.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.1.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.6
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.1.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.1.7
Kombiniere Brüche.
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Schritt 1.1.1.7.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.1.7.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.7.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.1.8
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.9
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.10
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.1.11
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.1.1.11.1
Addiere und .
Schritt 1.1.1.11.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 1.2.3
Da , gibt es keine Lösungen.
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 1.3.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
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Schritt 1.3.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 1.3.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 1.3.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.3.3
Löse nach auf.
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Schritt 1.3.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
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Schritt 1.3.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.3.2.2.1
Vereinfache .
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Schritt 1.3.3.2.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 1.3.3.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 1.3.3.2.2.1.3
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.3.3.2.2.1.4
Vereinfache.
Schritt 1.3.3.2.2.1.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.3.3.2.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.3.3.3
Löse nach auf.
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Schritt 1.3.3.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.3.3.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.3.3.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.3.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.3.3.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.3.3.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.3.3.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.3.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.3.3.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.3.4
Setze den Radikanden in kleiner als , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.3.5
Subtrahiere von beiden Seiten der Ungleichung.
Schritt 1.3.6
Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 1.4.1
Berechne bei .
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Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 1.4.1.2.1
Addiere und .
Schritt 1.4.1.2.2
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.3
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.4.2
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.
Schritt 3
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
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Schritt 3.1
Berechne bei .
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Schritt 3.1.1
Ersetze durch .
Schritt 3.1.2
Addiere und .
Schritt 3.2
Berechne bei .
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Schritt 3.2.1
Ersetze durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache.
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Schritt 3.2.2.1
Addiere und .
Schritt 3.2.2.2
Schreibe als um.
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Schritt 3.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.2.2.2.2
Schreibe als um.
Schritt 3.2.2.3
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 3.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 4
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 5