Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x)=(2x^(5/2))/5-(4x^(3/2))/3+(x^2)/2-5 , [0,4]
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.2.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.2.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.1.2.7
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.11
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.1.2.12
Dividiere durch .
Schritt 1.1.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.3.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.3.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.3.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.1.3.7
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.11
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.3.12
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.3.12.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.3.12.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.1.3.12.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.1.3.12.4
Dividiere durch .
Schritt 1.1.1.3.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.4.3
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.4.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.4.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.4.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.1.4.5.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.1.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.1.6
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.6.1
Addiere und .
Schritt 1.1.1.6.2
Stelle die Terme um.
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Ermittle einen gemeinsamen Teiler , der in jedem Term vorkommt.
Schritt 1.2.3
Ersetze durch .
Schritt 1.2.4
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.1.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.2.4.1.2
Addiere und .
Schritt 1.2.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.4.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.4.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.4.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.4.4
Setze gleich .
Schritt 1.2.4.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.5.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.4.5.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.5.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.4.5.2.2
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.2.4.5.2.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.5.2.3.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 1.2.4.5.2.3.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 1.2.4.5.2.3.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 1.2.4.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 1.2.5
Ersetze durch .
Schritt 1.2.6
Löse nach auf für .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.1
Potenziere jede Seite der Gleichung mit , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.2.6.2
Vereinfache den Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.6.2.1.1.2
Vereinfache.
Schritt 1.2.6.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.2.7
Löse nach auf für .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.1
Potenziere jede Seite der Gleichung mit , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.2.7.2
Vereinfache den Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.1.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.1.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.1.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.7.2.1.1.2
Vereinfache.
Schritt 1.2.7.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.2.1
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.2.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.2.7.2.2.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.7.2.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 1.2.7.2.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.7.2.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.7.2.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.7.2.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.7.2.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.7.2.2.1.5
Schreibe als um.
Schritt 1.2.8
Liste alle Lösungen auf.
Schritt 1.2.9
Schließe die Lösungen aus, die nicht erfüllen.
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 1.3.1.2
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 1.3.1.3
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 1.3.2
Setze den Radikanden in kleiner als , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.3.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.1
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.3.3.2
Vereinfache die Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.1.1
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 1.3.3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.3.2.2.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.3.3.2.2.1.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 1.3.4
Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.1.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.4.1.2.1.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.1.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.1.1.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.1.2.1.1.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.3
Dividiere durch .
Schritt 1.4.1.2.1.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.4.1
Schreibe als um.
Schritt 1.4.1.2.1.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.4.1.2.1.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.4.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.1.4.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.1.2.1.4.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4.1.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.6
Dividiere durch .
Schritt 1.4.1.2.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.8
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.4.1.2.1.9
Dividiere durch .
Schritt 1.4.1.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.2.1
Addiere und .
Schritt 1.4.1.2.2.2
Addiere und .
Schritt 1.4.1.2.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.2
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Ersetze durch .
Schritt 2.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 2.1.2.1.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.1.2.1.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.1.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.1.2.1.1.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.1.2.1.1.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.1.3
Dividiere durch .
Schritt 2.1.2.1.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.4.1
Schreibe als um.
Schritt 2.1.2.1.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.1.2.1.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1.4.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.1.2.1.4.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.1.2.1.4.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.1.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.1.6
Dividiere durch .
Schritt 2.1.2.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.1.8
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.1.2.1.9
Dividiere durch .
Schritt 2.1.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.2.1
Addiere und .
Schritt 2.1.2.2.2
Addiere und .
Schritt 2.1.2.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 2.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Ersetze durch .
Schritt 2.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 2.2.2.1.1.2
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1.2.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.2.2.1.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.2.1.1.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.2.2.1.1.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.2.1.1.4
Addiere und .
Schritt 2.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.1.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.3.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.1.3.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.2.1.3.2
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.2.2.1.3.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.2.2.1.3.4
Addiere und .
Schritt 2.2.2.1.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.4.1
Schreibe als um.
Schritt 2.2.2.1.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.2.2.1.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.4.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.2.1.4.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.2.2.1.4.4
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.1.5
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.1.6
Dividiere durch .
Schritt 2.2.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.5
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 2.2.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.8
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 2.2.2.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.11
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 2.2.2.2.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.2.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.2.2.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2.5
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 2.2.2.5.2
Addiere und .
Schritt 2.2.2.5.3
Subtrahiere von .
Schritt 2.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 3
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 4