Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall f(x)=(x^3)/3-(7x^2)/2+10x-5 , [1,4]
,
Schritt 1
Ermittle die kritischen Punkte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.2.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.2.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.1.2.5.2
Dividiere durch .
Schritt 1.1.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3.6
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.3.7
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.3.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.3.7.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.3.7.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.1.3.7.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.1.3.7.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.1.3.7.2.4
Dividiere durch .
Schritt 1.1.1.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.5
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.5.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.1.5.2
Addiere und .
Schritt 1.1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Faktorisiere unter der Verwendung der AC-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.2.1
Betrachte die Form . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt und deren Summe ist. In diesem Fall, deren Produkt und deren Summe ist.
Schritt 1.2.2.2
Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.
Schritt 1.2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.4
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.4.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.5.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.5.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 1.3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.5
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 1.4.1.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.8
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 1.4.1.2.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.11
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 1.4.1.2.2.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.4.1.2.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.5
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.1.2.5.2
Addiere und .
Schritt 1.4.1.2.5.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.1.2.5.4
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.2.2.1.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.4.2.2.1.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.2.2.1.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.4.2.2.1.2.2.4
Dividiere durch .
Schritt 1.4.2.2.1.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.2.1
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 1.4.2.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.4
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 1.4.2.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.7
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 1.4.2.2.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.4.2.2.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2.2.5
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.2.2.5.2
Addiere und .
Schritt 1.4.2.2.5.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 2
Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.
Schritt 3
Werte die enthaltenen Endpunkte aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Ersetze durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 3.1.2.1.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 3.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.5
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 3.1.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.8
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 3.1.2.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.11
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 3.1.2.2.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.1.2.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.5
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.1.2.5.2
Addiere und .
Schritt 3.1.2.5.3
Subtrahiere von .
Schritt 3.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1
Ersetze durch .
Schritt 3.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 3.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 3.2.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.1.4
Dividiere durch .
Schritt 3.2.2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.2.1
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 3.2.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.2.4
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 3.2.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.2.7
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 3.2.2.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.2.2.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2.5
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.2.5.2
Addiere und .
Schritt 3.2.2.5.3
Subtrahiere von .
Schritt 3.3
Liste all Punkte auf.
Schritt 4
Vergleiche die für jeden Wert von gefundenen -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten -Wert und das Minimum beim niedrigsten -Wert auftreten.
Absolutes Maximum:
Absolutes Minimum:
Schritt 5