Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall g(x)=(x^2+4)/(10x)
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.3
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.4
Addiere und .
Schritt 1.4
Potenziere mit .
Schritt 1.5
Potenziere mit .
Schritt 1.6
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.7
Addiere und .
Schritt 1.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.9
Kombiniere Brüche.
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Schritt 1.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.10
Vereinfache.
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Schritt 1.10.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.10.2
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.10.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.10.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.10.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 1.10.3.1
Schreibe als um.
Schritt 1.10.3.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
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Schritt 2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.3
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 2.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.5
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.5.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.5.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.5.4
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.4.1
Addiere und .
Schritt 2.5.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.5
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.5.6
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.5.7
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.5.8
Vereinfache durch Addieren von Termen.
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Schritt 2.5.8.1
Addiere und .
Schritt 2.5.8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.8.3
Addiere und .
Schritt 2.5.8.4
Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.8.4.1
Subtrahiere von .
Schritt 2.5.8.4.2
Addiere und .
Schritt 2.6
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.6.1
Bewege .
Schritt 2.6.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.6.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.6.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.6.3
Addiere und .
Schritt 2.7
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.9
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.10
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.10.2
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.10.2.1.2
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.2.1.2.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.10.2.1.2.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.10.2.1.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.10.2.1.3
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.2.1.3.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.2.1.3.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.2.1.3.1.1.1
Bewege .
Schritt 2.10.2.1.3.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.10.2.1.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.10.2.1.3.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.10.2.1.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.10.2.1.3.3
Addiere und .
Schritt 2.10.2.1.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.10.2.1.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.2.1.5.1
Bewege .
Schritt 2.10.2.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.2.1.5.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.10.2.1.5.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.10.2.1.5.3
Addiere und .
Schritt 2.10.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.10.2.3
Addiere und .
Schritt 2.10.3
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.3.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.10.3.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.3.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.10.3.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.10.3.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.10.3.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.10.3.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.10.3.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.10.3.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.10.3.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 4.1.3
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.3.4
Addiere und .
Schritt 4.1.4
Potenziere mit .
Schritt 4.1.5
Potenziere mit .
Schritt 4.1.6
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.1.7
Addiere und .
Schritt 4.1.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.9
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.10
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.10.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.10.2
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.10.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.10.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.10.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.10.3.1
Schreibe als um.
Schritt 4.1.10.3.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 5.3
Löse die Gleichung nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 5.3.2
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.1
Setze gleich .
Schritt 5.3.2.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.3.3
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.3.1
Setze gleich .
Schritt 5.3.3.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.3.4
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 6.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.2.1.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.1.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 6.2.1.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1.3.1
Dividiere durch .
Schritt 6.2.2
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 6.2.3
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.3.1
Schreibe als um.
Schritt 6.2.3.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 6.2.3.3
Plus oder Minus ist .
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1
Potenziere mit .
Schritt 9.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 9.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 9.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 10
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 11.2.1.2
Addiere und .
Schritt 11.2.2
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.2.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.2.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.2.2.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 11.2.2.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 11.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1.1
Potenziere mit .
Schritt 13.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 13.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 13.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 14
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 15
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 15.2.1.2
Addiere und .
Schritt 15.2.2
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.2.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.2.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.2.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 17