Analysis Beispiele

Finde das absolute Maximum und Minimum im Intervall (4x)/(x^2+1)
Schritt 1
Ermittle die erste Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.3
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.3.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.3.6
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.6.1
Addiere und .
Schritt 1.3.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4
Potenziere mit .
Schritt 1.5
Potenziere mit .
Schritt 1.6
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.7
Addiere und .
Schritt 1.8
Subtrahiere von .
Schritt 1.9
Kombiniere und .
Schritt 1.10
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.10.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.10.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.10.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.10.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2
Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.2
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.6
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.2.7
Addiere und .
Schritt 2.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.4
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.4.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.4.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.4.5
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.4.5.1
Addiere und .
Schritt 2.4.5.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.4.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 2.5.3.1.2
Schreibe als um.
Schritt 2.5.3.1.3
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.3.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.3.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.3.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.4
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.4.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.4.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.4.1.1.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.4.1.1.2
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.4.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.4.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.4.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.4.2
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.6
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.7
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.8
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.8.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.8.1.1
Bewege .
Schritt 2.5.3.1.8.1.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.8.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.5.3.1.8.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.8.1.3
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.8.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.8.2.1
Bewege .
Schritt 2.5.3.1.8.2.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.8.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.5.3.1.8.2.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.8.2.3
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.9
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.10
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.10.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.10.1.1
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.10.1.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.5.3.1.10.1.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.10.1.2
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.10.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.11
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.11.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.11.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.11.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.12
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.12.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.12.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.12.1.1.1
Bewege .
Schritt 2.5.3.1.12.1.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.12.1.1.3
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.12.1.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.12.1.2.1
Bewege .
Schritt 2.5.3.1.12.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.3.1.12.1.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.5.3.1.12.1.2.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.12.1.2.3
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.12.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.5.3.1.12.3
Addiere und .
Schritt 2.5.3.2
Addiere und .
Schritt 2.5.3.3
Subtrahiere von .
Schritt 2.5.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.4.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.4.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.4.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.4.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.4.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.4.2
Schreibe als um.
Schritt 2.5.4.3
Es sei . Ersetze für alle .
Schritt 2.5.4.4
Faktorisiere unter der Verwendung der AC-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.4.4.1
Betrachte die Form . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt und deren Summe ist. In diesem Fall, deren Produkt und deren Summe ist.
Schritt 2.5.4.4.2
Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.
Schritt 2.5.4.5
Ersetze alle durch .
Schritt 2.5.5
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.5.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.5.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.5.5.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.2
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 4.1.3
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.3.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.3.6
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.3.6.1
Addiere und .
Schritt 4.1.3.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.4
Potenziere mit .
Schritt 4.1.5
Potenziere mit .
Schritt 4.1.6
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.1.7
Addiere und .
Schritt 4.1.8
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.9
Kombiniere und .
Schritt 4.1.10
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.10.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.1.10.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.10.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.10.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 5.3
Löse die Gleichung nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 5.3.3
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 5.3.4
Jede Wurzel von ist .
Schritt 5.3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 5.3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 5.3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 6
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 9.2.2
Addiere und .
Schritt 9.2.3
Potenziere mit .
Schritt 9.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.3.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 9.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 9.4
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.4.2
Dividiere durch .
Schritt 10
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 11
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.2.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 11.2.2.2
Addiere und .
Schritt 11.2.3
Dividiere durch .
Schritt 11.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Berechne die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.2.1
Potenziere mit .
Schritt 13.2.2
Addiere und .
Schritt 13.2.3
Potenziere mit .
Schritt 13.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.3.1
Potenziere mit .
Schritt 13.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 13.4
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.4.2
Dividiere durch .
Schritt 14
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 15
Ermittele den y-Wert, wenn .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 15.2.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 15.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 15.2.2.2
Addiere und .
Schritt 15.2.3
Dividiere durch .
Schritt 15.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 17